Question

早織

(3)赤線を引いたところの式変形がよく分からないので教えてください。

例題264 合同式の利用(1)
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αは7で割ると3余る整数, βは7で割ると4余る整数である. このと
き、次の数を7で割ったときの余りを合同式を利用して求めよ。
(1) α+2β
(2) a³
(3) β50
考え方
解答
m, nを整数として, α=7m+3,β=7n+4 とおき, 代入しても求められるが, (3) の
β50はそのままでは計算が大変である. そこで, 合同式の性質の利用する.
7を法とすると,
(1) 2β=2×4=8=1 (mod7) より
α+2β=3+1=4 (mod7)
4
α=3 (mod7), β=4 (mod7)
よって, 求める余りは,
(2) a³=3³ (mod 7)
ここで,
3=27=6 (mod7)
よって,ω≡6(mod7) より 求める余りは, 6
(3) β50=450(mod7)
ここで,
450=(22)50=2100= (23)33×2
=833 × 2
81 (mod7) であるから,
1
833×2=133×2=2 (mod7)
したがって,
よって, 求める余りは, 2
50=45°=2 (mod7)
a=b (modm),
c≡d (modm) のとき,
a+c=b+d (modm)
を利用する.
a=b (modm) のとき,
a"=6" (modm)
を利用する.
100=3×33+1
833=133=1 (mod7)
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数学a 合同式