Question

りーたん😎

質問です。
(2)についての解説がなんとなくしか分からなくて､､､
詳しく教えて下さい〜!!!
宜しくお願いします。

504 3次方程式x-3x-9x-a=0 が次の解をもつような定数aの値の範囲を
求めよ。
(1)* 1個の実数解
(2) 異なる2個の正の解と1個の負の解

504 (1) 3次方程式
x-3x²-9x-a=0
を変形すると
1
①
x³-3x²-9x = a
50 ここで、f(x)=x-3x 9.x とおく
と, y=f(x)のグラフと直線y=a
-

の共有点の個数は、3次方程式 ① の異
なる実数解の個数と一致する。
また
f'(x)=3.x²-6x-9
3(x2-2x-3)
3(x+1)(x-3)
よって, f(x) の増減表は次のようにな
る。
x
f'(x) +
f(x)
-1
0
極大
5
1 O
a
これより, y=f(x)のグラフをかく 50
と下の図のようになる。
1+x5-x5-₁ y=x²-3x²9x
15
-27
3
I
3
0 +
T
極小
- 27
(S)
x
******
y=a
よって, 3次方程式 ① が実数解を1個
だけもつαの値の範囲は
201
a<-27,5<a
(2) 3次方程式 ① が異なる正の解を2個,
負の解を1個もつのは, y=f(x) の
グラフと直線y=ax>0の範囲
に2個, x<0 の範囲に1個共有点を
もつ場合であるから, 4 の値の範囲は
-27<a<0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

カルロス

（1）の解説の前半部分に書いてあることをご理解されていることを前提にした回答になりますが、

例えば、fと画像の赤線の共有点はx>0に一個、x<0に二個ですね。

fと画像の青線の共有点はx>0に2個、x<0に一個ですよね。

y=aという横線を動かして、共有点がx>0に2個、x<0に一個となるのはどの範囲か探る問題です。

りーたん😎

コメントありがとうございます。
確かに、難しく考えなくても、
そう考えると理解しやすいです!!
コメント有り難いです！
ありがとうございました。

カルロス

言う必要はおそらくないと思いますが一応。

もう一人の方の回答はx>0で極小値を取るというのがわかっている場合は正しいですが、そうでない場合は正しくないです。

画像のような場合もあるので。

りーたん😎

コメントありがとうございます。
どういうことでしょうか?
もし良ければもう少し詳しく教えて頂けると嬉しいです!!

カルロス

fを三次関数とします。x³の係数は正とします。

①fの極小値<0
②f(0)>0
③fはx>0で極小値をとる

とします。

『①+②
⇒
3次方程式f(x)=0はx>0で二つ、x<0で一つの解を持つ』

↑これは正しくないということです。（先の返信に貼った画像が反例）

『①+②+③
⇒
3次方程式f(x)=0はx>0で二つ、x<0で一つの解を持つ』

こっちは正しいです。今回の問題ではx=3で極小値をとるので③はクリアされてるのでオッケーですが、念のため申し上げました。

りーたん😎

返信ありがとうございます。
なるほど!!!!
理解出来ました！！
"念の為"というのがとっても有り難かったです､､､!
コメント有り難いです。
ありがとうございました。

Answer 2

ゲストあ

どうでしょ？

りーたん😎

コメントありがとうございます。
質問いいですか?
②の部分がよく分からないのですが、どういうことでしょうか?
頭固くてごめんなさい、、(^^)

ゲストあ

基本的にこうゆう問題はグラフを描いて視覚的に判断するのが1番です！
まず3次関数であることと、Xの3乗の係数が正の値であることから大まかな形は想像できますね。
それをXYグラフに当てはめて動かして見ます。
もし関数とy軸の交点が負の値だったら、どんなグラフになりますか？きっとX軸との交点は原点より右になりますよね。それでは負の解はとれないでしょう。まずはお絵描きです笑

りーたん😎

返信ありがとうございます。
なるほど〜！！
確かにお絵描きですね(^^)
理解出来ました!!!
コメント有り難いです♪
ありがとうございました。