Question

はとぽっぽ

この問題①∧②⇒答えの式
のように変形していて同値変形では無いように思えるのですが勝手に十分条件だけに変えてしまっていいのですか？

の形に
数。
と、
さい。
円
$900
00000
複素数平面上の原点を0とし, 0 と異なる定点をA(α) とする。異なる2点
P(z) と Q(ω) が直線OAに関して対称であるとき, w=az が成り立つことを
証明せよ。
基本 10.37
指針
解答
直線OAに関して
点Pと点 Q が対称
が基本となる。 (*)の2つの条件を複素数で表す。
複素数平面において, 実軸に関する移動は,
点z → 点z のように、 共役な複素数として表される。
このことを利用する。 すなわち, 対称軸 (直線OA) が実軸
に重なるように移動してまた戻す、という要領で, 回転移動
と実軸に関する対称移動の組み合わせで考える。 具体的には、
次の順番で移動を考える。 ただし, 0αの偏角である。
P
Aに関して対称
P
PQLOAであるから,
ある｡
よって,
2-w
C
-0
+
ゆえに,
よって
ゆえに
①②から
a
よって
また, 線分PQの中点
z+w
2
a-0
z+w
2c
2-w
-0回転
zw z-w
²+. -=0
z+w
2a
Qは
z-w は純虚数で
a-0
a
a(z-w)+a(z-w)=0
az+az-aw-aw=0
= 0から
z+w
20
PQLOA
線分PQの中点が直線OA 上
P'
z+w
2
は実数である。
から
実軸対称
a(z+w)= a(z+w)
az-az+aw-aw=0
①
が直線OA 上にあるから,
******
2c
Q'
******
P(z)
+60(0)
2+w_z+w
②
0回転
2a
2az-2aw=0 th aw=az
A(a)
Q(w)
0
-b
<zw0
点と点は、原点と点α (a≠0) を通る直線に関して
互いに対称であることがわかる。
が純虚数
a
+●=0,
分母を払う。
43点 0, c.
よって,
直線OA
a
実軸
対称
X
+0
章 4 複素数と図形
1章
2
上にある条件。
なお, 直線OA の方程式は
z=ka (k(***)
が一直線
は実数である
=280
ゆえに az-az=0
この式に
代
入して、②を導いてもよい。