Question

ゆい

解説お願いします

183 方程式x+y2+bx+my+n=0の表す図形
a,b は実数とする。 方程式x2+y2+2ax-2a²+α6-6=0 が,どのような
αの値に対しても円を表すとき, 6の値の範囲はア<b<イウである。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

x²+2ax+y²-2a²+ab-b=0
→　(x²+a)²+y²＝3a²-ab+b

aがどんな値をとっても円を表すためには、
3a²-ab+b＞0　であればいい。
※この部分は半径を表します。円を表すためには半径が0より大きくないといけませんので、＞0という式になっています。

aの関数とみると、
f(a)＝3a²-ba+b＞0となるためには、aの二次関数がa軸に交わらなければいいことから、判別式＜0になればいい。

D＝b²-12b＜0
→　b(b-12)＜0
→　0＜b＜12

ゆい

aの二次関数がa軸に交わらなければいいことから、判別式＜0になればいい。ってところがよくわかりません🤔🥺

きらうる

グラフにするとこんな感じです。
どうでしょうか

ゆい

なぜ判別式<0なんですか？？

ゆい

ちなみに平方完成で答えを出すこともできますか？

きらうる

判別式＜0である理由は、私の写真のグラフがa軸と交わりません。これは実数解を持たないことと同じなので、
2次方程式が実数解を持たない→判別式＜0
という理由です。

平方完成でも出すことができます。
平方完成をして、頂点のf(a)座標（※x-y平面ならy座標のこと)が正ならOKです。

ゆい

実数解がないってことでしたね。思いだしました！ありがとうございます