✨ ベストアンサー ✨
(与式)
＝[0→π/2]∫dx-[0→π/2]∫1/(1+sinx)dx
＝π/2-[0→π/2]∫1/(1+sinx)dx
ここで,[0→π/2]∫1/(1+sinx)dxについて,
tan(x/2)=tとおくと,(※注)
sinx=2t/(1+t²),dx=2/(1+t²)dt であるから,
[0→π/2]∫1/(1+sinx)dx
＝[0→1]∫2/(1+t)²dt
＝[0→1][-2/(1+t)]
＝1
∴(与式)＝(π/2)-1
注意事項までありがとうございます泣
(※注)
分母にsinxやcosxが含まれている場合,tan(x/2)=tという置換をするとうまくいくことがあります(全部がそうとは限りません).
2倍角の公式などを使うと
sinx=2t/(1+t²)
cosx=(1-t²)/(1+t²)
tanx=2t/(1-t²)
dx=2/(1+t²)dt となります.
なお,∫1/(1+sinx)dxについては,
1/(1+sinx)の分子分母に(1-sinx)をかけることでも求められます.