✨ ベストアンサー ✨
ごめんなさい。やっぱり先程の解説が悪かったみたいですね…
グラフに単調性がない場合っていうのはありません。
極値を跨がない範囲は単調性があるといって大丈夫です。
例えば、y=f(x)=x^3+9xというグラフを考えてみて下さい。
極値はx=±√3で、f'(±√3)=0ですよね？なので、このグラフはx<−√3、−√3<x<√3、√3<xの範囲でそれぞれ単調性を持つと言えます(この時点では、単調減少なのか単調増加なのかは分かりません)。
また、f'(−3)=18、f'(0)=、f'(3)=18なので、上記の範囲のf'の符号はそれぞれ、＋、−、＋であると分かり、ここから時点の範囲はそれぞれ単調増加、単調減少、単調増加であると分かります。
逆に質問させて頂きたいのですが、「単調性なないとき」というのはどのような場合を想定していますか？
129番の解説中に、g(x)がどんな式なのかは全く書いてないのですか？
gx=〇〇とする、くらいの記述があっても良いと思うのですが…
f'(x)の3行目の形(整理後の形)を①とおきます。
本当は、①を見た時に「xが何の値の時にf(x)が極値をとるのか(今回は、f'(c)=0となるようなc)」をぱっと見つけられるのが1番良い
⇒でも全く分からない
⇒なら二階微分をすれば良いじゃない(困ったらもう1回微分の精神)
二階微分の結果として、「f"xが常にマイナス」だったら「f'x(=fxの接線の傾き)が常に単調減少」、「f"xが常にプラス」だったら「f'xが常に単調増加」ということになります。「f"x=0となるようなxな存在する」時は「fxに変曲点が存在する」ということなので、上記のようにf'xが常に〇〇ということは言えません。(詳しくは写真を参照して下さい。)
次に、g(x)をおいている理由です。
前述の通り、①の式だけではf'x=0となるようなxが分からず、fxの極値が分からないので、二階微分をしようという考えになります。
しかし、①の時点で既に式が複雑なので、これを更に微分なんかしたくないですよね？そこで、何とか「楽をする」方法はないかと考えてみます。
そこで①の分母に着目してみると、x>0かつa>0の範囲では、これは常に正になりますよね？
常に正ということは、これはf'xの符号変化に影響を与えないということです。
そこで、分母は無視して分子の符号変化のみを考えよう(=分子のみをもう1回微分してみよう)という発想になるわけです。
そして①の分子をg(x)とおいてこれを微分してみたところ、g'(x)は常にマイナスになったのです(これが負になる理由は大丈夫ですよね？)
g(x)はそもそもf'(x)の分子であり、f'xの分母は常にプラスということを加味すると、「g'xが常にマイナス」というのは「f"xが常にマイナス」ということだと言い換えられますよね？
するとそれは「f'xが常に単調減少」であると言い換えられます。
f'xが単調減少ならgxも単調減少なので、それを解答では、g'x<0よりgxは単調減少、と書いているのです。
結論として、今回のfxは写真の1番左のような概形になります。
写真が見づらかったり、不明瞭な説明があったりすれば言って下さい。
補足
「二階微分をする」というのは、「グラフを正確に書くために変曲点を求めたいから」という時と、「一階微分だけでは極地などが何も見えてこなかったから」という時の2パターンがあることに留意して下さい。
変曲点がなければグラフは常に単調増加もしくは単調減少すると言えるのだと理解しました。
変曲点があれば、変曲点の前後で単調性が逆になるという理解は合っていますか？
また、g’x＜0となるのは、g’x＝負の数＋負の数となっているからであっていますか？？
写真まで付けて解説して頂き、ありがとうございます🙏🙏
とんでもないです！
また何か分からない問題があれば聞いてください🙆
fx=x^3−9xの間違えです