Question

Nちゃん

(2)のグラフを書こうと思った時に、t＝0の時以外の点のプロットが上手くいかなかったのですが何かコツがあったりしましたら教えて頂きたいです🙏

(1) x=e¹ cost, y = e sint (0 ≤t≤n)
T
(2) x=2 cos2t, y = 3 sin 3t
≤t≤
3
3
(3) x=t-sint, y=1-cost (0 ≤ t ≤2л)
T
——

133
<解答> (1) x = x(t)=e cost, y=y(t)=e^sint とおく.
dx
dxdy
dt' dt
dt
dy
dt
-=y'(t)=e^(cost-sint)
・の符号を調べる. X = cost, Y = sint
とおくと,X2+Y2=1であり,
d
の符号はそれぞれ
dtdt
-X-Y, X-Yの符号に等しい.
右図より、下のように増減する.
0
t
t=
= x'(t)=e^(-cost - sint)
`x'(t)
y'(t)
(x,y)
t=0のとき, (x,y)=(1,0)
+
....
に匹の。
t=- このとき, (x,y)=
4
||+
- e
3のとき(x,y)=
4
|4||
0
2
-π/4
e-π/4
e
√√2 √2
e
:
-
-
e-3/4
√2 √2
-3π/4
と ↓
2π/4
√2
e
√2 √2
t=πのとき, (x,y)=(-e", 0).
したがって, 曲線Cのグラフは下図のようになる.
e-/4
e-3π/4
3π
4
0
-3π/4
e
1 x
√√2
Join 3t + ES
:
+->
YAX - Y = 0
'-X-Y=0
π
||+
X
-

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MathLove

写真が(1)の解答なので良ければ(2)の画像を送ってほしいのと(2)のグラフを書くにあたってどのようなとこが上手くいかずに不満であったのか教えていただけると解答しやすいです！

Nちゃん

質問を間違えました🙏(1)です💦すみません。
上手くいかなかった部分はXとYの値にｅとπが入っているので実際に2.7や3.14を代入して計算すると、t＝4分のπや4分の3πのときなどにX，Yの値を求めるのに時間がかかってしまったのが不満でした😑
こういう面倒くさい計算をする時のコツがありましたら知りたいです🙏

MathLove

具体的な点の値を計算することが困難な場合は計算せずに求めた点同士の大まかな大小関係を掴めれば問題ないと思います。グラフの概形は増減表からわかるのでそこは問題ないでしょう。腑に落ちないかもしれませんがそこまで高度なグラフの概形を要求されることはないでしょう。そもそも概形という言葉自体｢概ねの形｣ですから増減表を元にして書いたグラフの形が1番重要です。軸との交点には十分注意した上でグラフの増減がどの位置で変化してどこへ向かうのかそこさえ気を付けていれば大丈夫だと思います！納得できない部分があれば何でも言ってください。一緒に解決しましょう。

MathLove

1度学校の先生等に質問してみても良いかと思います。採点するのは先生や教授と言った方々なのでそこに聞くのが1番信頼できそうですね。今回のような問題は正確な値を計算することはほぼ不可能ですね。それぞれの値の形は似ているのである程度の大小関係を把握することくらいが限界でしょうか。

MathLove

そしてこの媒介変数表示された曲線は対数螺旋と呼びます。こいつの概形と媒介変数表示を何となく予め理解しておくのも1つの手ですね。

Nちゃん

細かく教えてくださり、ありがとうございます🙏
有名な曲線の概形を覚えてしまうのはいい方法だと思いました！