Question

いちご

この問題がわからないです。解説してくださると幸いです

94.正の実数a についての関数f(a)をf(a)=l-aldx によって
定義する」を正
(1) f(a) を計算せよ. 18**000S SH2 (4)
(2) f(a) の最小値を求めよ.
(+++fX17 IL

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

偶関数なので、f(a)＝2∫{0→1}|x²-a²|dx
aの位置によって面積が変わってくるので、場合分け。

①0＜a＜1のとき
与式＝-2∫{0→a}(x²-a²)dx　+2∫{a→1}(x²-a²)dx
　＝-2{1/3x³-a²x}+2[1/3x²-a²x]
　＝-2{(1/3a³-a³)-0}+2{(1/3-a²)-(1/3a³-a³)}
　＝8/3a³-2a²+2/3　

②a＝1のとき
与式＝-2∫[0→1](x²-1²)dx
　＝-2[1/3x³-x]
　＝-2(1/3-1)
　＝4/3

③a＞1のとき
与式＝-2∫[0→1](x²-a²)dx
　＝-2[1/3x³-a²x]
　＝-2(1/3-a²)
　＝2a²-2/3

①のとき
f(a)＝8/3a³-2a²+2/3
f'(a)＝8a²-4a
　＝4a(2a-1)
極値は、a＝0と1/2のとき
0＜a＜1より、a＝1/2のとき最小値f(1/2)＝1/2

③のとき
f(a)＝2a²-2/3
f'(a)＝4a
a＝1のときのf(a)の値がは4/3

よってf(a)の最小値は1/2

いちご

解答ありがとうございます。質問で、0<a<1の0はどこから出てきたのですか？

きらうる

aは正の実数なのでa＞0です

いちご

ありがとうございます。理解できました