Question

ブーさん

平方根の積と積の平方根の相当性を示す問題です！！
何が論理的にかけてるのかわからないです💦
教えていただけると幸いです。
《問題》　
下記の証明の論理的欠点を指摘せよ。

α> 0,b>0とするとき
√ａx √b= √a b
が成り立つ。

〈証明〉
A= √a√b，B=√abとおく.
A = (√a×√b)²
=√a² x √ b²
=ax b
一方
B² = ab
ゆえに
A² = B²
より、a,bの仮定から，A>0,B>0であるので，上の等式とあわせて
A = B
が成り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

甘味

おかしなところはなさそうですが……。
強いてあげるなら、恐らく脱字だと思いますがA=(√a×√b)²じゃなくてA²=(√a×√b)²です。あと、√a²×√b²じゃなくて(√a)²×(√b)²です。
それ以外には理論的に間違っているところはなさそうですが…本当に誤りがあるのか疑問です…。
ただ、答案に記述として書くなら「甘い」とは思います。自分ならこう書きます。
<証明>
a>0,b>0において、√a×√b=√abであることを示す。
実数A,Bを用いてA=√a×√b、B=√abとおく。(a>0,b>0よりa,bは実数であることは自明。よって、A>0,B>0)
したがって、A=Bを示す。
A=√a×√b、A>0より、
A=√a×√b
⇔A²=(√a×√b)²
=(√a)²×(√b)²
=(a^1/2)²×(b^1/2)²
=a×b･･･①
同様に、B=√ab
⇔B²=(√ab)²
=ab･･･②
よって、①=②であり、A²=B²⇔A=Bが示された。qed

ブーさん

丁寧に証明までありがとうございました！
分かりやすかったです！
誤字は私の入力ミスだったのですが、、
証明をが少し甘いということになるほど！と思いました！

甘味

いえ、欠点を見つけろという問題なのであれば証明が甘いということは欠点とは言い難いので、なんか納得のいかないものです…もし答えが分かれば自分にも教えて頂きたいです🙇‍♂️