数学
高校生
解決済み
この問題の解説に書いてあることが全体的に理解できないのですが、詳しく教えていただけませんか？
題
-4
135 多項式 P(x) を (x-1)2で割ると余りが 4x-5, x+2 で割ると余りが
である。このとき,P(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。
って
135
ゆえに
2
2
-7
3
-4
2x-7x2+8x-8=
8
-6
2
3
x--
-8
3
-5
(2x² - 4x+2)-5
=(2x-3)(x2-2x+1)-5
商x2-2x+1, 余り-5
■■指針■■
等式 P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) +R(x) を作る。
(R(x)はax2+bx+c と表される)
(x-1)(x+2)Q(x) は (x-1)²で割り切れるか
ら、 R(x) を (x-1) ²で割ったときの余りは、
P(x) (x-1)2で割ったときの余り(=4x-5)
と一致する。
よって
R(x)=ax2+bx+c
2
=a(x-1)2+4x-5
あとは、αの値を求める。
P(x) を (x-1)' (x+2) で割ったときの商をQ(x)
とする。
このときの余りは、 2次以下の多項式または0で
あるから, ax2+bx+c (a,b,cは定数) とおけ
る。
よって P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) +ax²+bx+c
更に, P(x) を (x-1)2で割ると余りが 4x-5で
あるから
P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) +a(x-1)2+4x-5
と表される。
P(x) を x +2で割ると余りが -4 であるから
P(−2)=-4
P(−2)=9a-13
ゆえに
また, ① から
よって
9a-13=-4
したがって, 求める余りは
(x-1)2+4x-5 すなわち x2 +2x-4
■指針■
[別解
等式P(x)=(x-1)'Q(x)+4x-5を作る。
Q1(x) を x+2で割ったときの余りをrとする
と,Q1(x)=(x+2)Q2(x) + r と表される。
よって
a=1
P(x)=(x-1)^{(x+2)Q2(x) + r} +4x-5
=(x-1)(x+2)Q2(x)+(x-1)'r+4x-5
ゆえに、求める余りは (x-1)2r+4x-5
P(x)=(x-1)2Q」(x)+4x-5
ると
Q(x) を x+2で割ったときの商をQ2(x)とし
余りをrとすると, Q1(x)は
Q1(x)=(x+2)Q2(x)+r
と表される。
これを①に代入して
P(x)=(x-1)^{(x+2)Q2(x) + r} +4x−5
=(x-1)^(x+2)Q2(x)+(x-1)'r+4x_s
P(−2)=9r-13
9r-13=-4
ここで, P(x) を x+2で割ると余りが-4で
るから
P(−2)=-4
また、②から
よって
これを②に代入して
P(x)=(x-1)(x+2)Q2(x)+(x-1)2.1+ 4.x,
(4)
ゆえに, 求める余りは
=(x-1)(x+2)Q2(x) + x2+2x-4
x2+2x-4
ゆえに
136 (1) 移項すると
左辺を因数分解して
よって
ゆえに x=-4, 2±2√3i
(2) 左辺を因数分解すると
.......
( 3x−2)(9x2+6x+4) = 0
x3+64=0
(x+4) (x2-4x+16) = 0
x+4=0 または x-4x+16 = 0
x=
x=3'
を因
P(x)
した
(3) F
1=
3x−2=0 または 9x2+6x+4= 0
2 -1±√3i
3
よを
よっ
を目
よって
ゆえに
(3) 左辺を因数分解すると (x2+4) (x2-9)=0
よって x2+4=0 または x²-9=0
ゆえに x=±2i, ±3
(4) 左辺を因数分解すると (x2-12)(x2+12) = 0
よって x2-120 または x2 +12=0
ゆえに x=±2√3, ±2√3 i
(5) 左辺を因数分解すると
よって
ゆえに
(x2-3)(x2-4)=0
P
よを
(5
x230 または x²40
x=±√3, ±2
S+xen
137 (1) P(x)=x3 - 5x² + 4 とすると
P(1)=1-5+4=0
よって, P(x)はx-1で割り切れるから, P(x)
P(x)=(x-1)(x2-4x-4)
を因数分解すると
P(x)=0から
したがって
(2) P(x)=x-2x2+x+4 とすると
P(-1)=-1
x-1=0 または x2²-4x-4=0
x=1, 2±2√2
回答
疑問は解決しましたか？
この質問を見ている人は
こちらの質問も見ています😉
ありがとうございます。
解説も丁寧に書いてあり、理解できました！