Question

りり

x^2+y^2=9と(x-a)^2+(y-b)^2=4であらわされる2円の共有点を
通る直線の方程式が、6x+2y-15=0となるような(a,b)を求めよ。

というものです。

私の解答としては、
2円の共有点を通る直線の方程式が
(x-a)^2+(y-b)^2-4+k(x^2+y^2-9)=0
とあらわせる。
直線の方程式を表すためには、k=-1として、
2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0
となる。
これが、6x+2y-15=0と一致するので、
2a=6　―①
2b=2　―②
a^2+b^2+5=15　―③
とし、①よりa=3,②よりb=1、これらは③を満たす。
よって、(a,b)=(3,1)

としたのですが、解答に(3/2,1/2)という組もありました。
確かに逆算すると、3x+y-15/2=0となり、2倍すれば
6x+2y-15=0に一致しますが、この(3/2,1/2)の出所は
どこなのでしょう？この組も必要なのですかね？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

(前略)
2ax+2by-(a²+b²+5)=0が
6x+2y-15=0と一致するので、
実数tを用いて、
2a=6t･･･①
2b=2t･･･②
a²+b²+5=15t･･･③
が成り立つ。
①よりa=3t
②よりb=t
これらを③に代入すると
9t²+t²+5=15t
10t²-15t+5=0
2t²-3t+1=0
(2t-1)(t-1)=0
t=1またはt=1/2
t=1のとき(a,b)=(3,1)
t=1/2のとき(a,b)=(3/2,1/2)
これが求めるa,bの組である。