対数に関しての質問です。⑴ではX,Yは登場しないのに、何故⑵ではX,Yで置き換えるのですか？X,Yを使う問題と使わない問題の区別がつかないので、教えていただきたいです。
(1.
7/14
2 対数と対数関数 341
7121
173
914
対数関数の最大・最小 (2)
****
**
小
小値を
数の
いる
www
れる.
ので,
真数
例題
xx>0,y>0, 2x+y=8 のとき, log2x+10gzyの最大値を求めよ.
(2)x≥1,
めよ.
y=1/4 xy=8 のとき,(logsx) (loggy) の最大値と最小値を求
考え方 (1) 10g2x+log2y=logxy である. 底が1より大きいから,xyが最大のとき
解答
logzxyも最大となる。
(2)10gzx=X, log2y=Y とすると, 題意は次のようになる。
「X≧0, Y≧-2. X+Y=3 のとき, XY の最大値、最小値を求めよ.」
(1) 10gzx+logzy=logzxy①
よりまずxyの最大値を求める .
xy4
最大
8
2.201
0<x<4 ......
②
02
4 x
8.(x=2のとき)
まずはxyの最大値
を求める.
xyをxのみで表す。
そのときの値の
範囲も調べておく
x>0y>0.2x+y=8より,
y=8-2x=2(4-x)>0
したがって,
xy=x.2(4-x)=-2(x-2)^+8
② における xyの最大値は,
底が1より大きいので, 真数 xy が最大のとき, 10gzxy
この値も最大となる.
f(xy)=logzxyとおき,
f(xy) のグラフで考え
したがって, logzxy の最大値は,
よって、より, 10gzx+10gzy の最大値は,
(2)xy=8 より,底2で両辺の対数をとると
log2xy=log28 つまり
log28=3
3
「てもよい.
↑f(xy)
ここで, 10gzx=X, 10gzy=Y とおくと
X=logzx log21=0
log2x+logzy=3
3
8 xy
1
Y=logzy≧log:=logz2-2=-2
X + Y = log2x +logzy=3
XYA
したがって, Y=3-X≧-2 より
0≤x≤5
9最大
4
3
5
与えられた条件に対
数を利用する.
底が1より大きいの
で,不等号の向きは
真数の大小と一致
103
このとき
|3|2
AX
(logzx) (10gzy)=XY
=X(3-x)=-(x-2)+2
x=2のとき,
最小
-10
よって, グラフより
10gx2 より
最大値 9
x=21=2√/2
X=5のとき,
最小値 -10
|logzx=5より,
x=25=32
第 5 章
練習
(1)x1,y≧1,xy2=8 のとき (10g2x) (logy) の最大値と最小値を求めよ。
173 (2)aは定数で,a>1 とする. ax +y=2a のとき 10gax+10g(x+y) の
***
最大値を求めよ. また,そのときのx,y の値を求めよ.
素早い回答ありがとうございます！自分でもう一度置き換えなしでやってみたら、解けました！確かに置き換えた方がわかりやすいですね。モヤモヤが解決しました。