Question

IGGY

この問題の(3)について質問です。なぜ、赤マーカーで引いた部分がわかるのですか?解説よろしくお願いします🙇

5)
□ 27 多項式P(x) を (x-1)で割ると余りが4x-5, x+2で割ると余りが-4である。(10点×3)
[山形
(1) P(x) を x-1で割ったときの余りを求めよ。
-1
(2)P(x) (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。
X-2
27
(3)(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。
P(2)=(ユーリ(2+2)
+(22

は
x-2
(3) P(x) を (x-1)(x+2)で割ったときの商をQ3 (x),
余りを cx2 + dx + e とすると, 次の等式が成り立
つ。
P(x)=(x-1)2(x+2)Q3(x) + cx2+dx+e
(c,d, e は定数)
・①
ここで, (x-1)(x+2)Q3(x)は(x-1)2で割り切れ
るから,P(x) を (x-1)2で割ったときの余りは,
cx2+dx+e を (x-1)2で割ったときの余りと等し
い。
P(x) を (x-1)2で割った余りが4x-5であるから
cx2+dx+e=c(x-1)2+4x-5
よって, 等式① は次のように表される。
P(x)=(x-1)2(x+2)Q3(x) +c(x-1)+4x-5
P(-2)=9c-13
ゆえに
P(-2)=-4であるから c-13=-4
よってc=1
したがって, 求める余りは
1.(x-1)2+4x-5 すなわち x2+2x-4
31

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

数の割り算からの類推でわかってもらえたら楽です

47 = 6×7 +5 ……☆ がわかっているものとして、
これを利用して
47を3で割った余りを求めます

☆の6×7が3で割り切れるので、
6×7は求める余りには関係ありません
☆の5が3で割っていくつ余るのかが肝心です
5は3で割って2余るので、
結局47を3で割ると2余ります

同じ理屈です
P(x) = (x-1)²(x+2)Q₃(x) +R(x) ……☆
これを利用して
P(x)を(x-1)²で割った余りを求めます

☆の(x-1)²(x+2)Q₃(x)が(x-1)²で割り切れるので、
(x-1)²(x+2)Q₃(x)は求める余りには関係ありません
☆のR(x)が(x-1)²で割っていくつ余るのかが肝心です
R(x)を(x-1)²で割った余りが、
結局P(x)を(x-1)²で割った余りに一致します

IGGY

ありがとうございました😊