Question

minana

なぜKがこのように表されるのですか？

266 n は整数とする。 次のことを証明せよ。
(1)²+5+4は偶数である。
(2) n+2n+1を3で割ると1余る。

4
=8k2
よって、連続する2つの奇数の2乗の和から2
を引いた数は、8の倍数である。
266 (1) すべての整数nは
n=2k, n=2k+1 (kは整数)
のいずれかの形で表される。す
n2+5n+4=(2k)2 +5.2k+4
[1] n=2k のとき
18:
=4k2+10k+4> [16
=2(2k2+5k+2)
[2] n=2k+1のとき
n2+5n+4=(2k+1)+5(2k+1) +4
13=4k²+14k+10
=2(2k2+7k+5)
いずれの場合も n2+5n+4は偶数である。
よって,n+5+4は偶数である。
別解n2+5n+4=n(n+1)+4(n+1)
連続する2つの整数の積n(n+1) は偶数で,
4(n+1) も偶数であるから, n2 + 5n + 4は偶数で
ある。
(2) すべての整数nは
n=3k, n=3k+1, n=3k+2(kは整数)
のいずれかの形で表される。
[1]n=3kのとき
n3+2n+1=(3k)+2.3k+1
=27k3+6k+1 25g
gar
[2]n=3k+1のとき
=3(9k3+2k)+1
n3+2n+1=(3k + 1) + 2(3k+ 1) + 1
=27k3+27k2+9k+1
でれる
+6k +2 +1
=27k3+27k+15k +4
=3(9k+9k2+5k + 1) + 1
[3] n=3k+2のとき
n3+2n+1=(3k+2)+2(3k+ 2) + 1
2011.11=27k3+54k2+36k + 8
自然数
EL
>+6k+4+1
=27k3+54k2+ 42k + 13
(=3(9k³+18k² + 14k+4)+1
いずれの場合も3+2n+1を3で割ると1余る。
よって,n+2n+1を3で割ると1余る。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽーちき

（1）2kは偶数、 2k+1は奇数を表しています。

全ての数字（但し整数）は偶数か奇数のどちらかで表すことが出来るので このような式になります。

何故こんな式になるのか↓

2、4、6、8、10、12 ･･･
このように、偶数は全て2の倍数なので2k

3、5、7、9、11、13 ･･･
これらは全て2の倍数に+1されている数字です。よって、2k+1

（2）3kは3の倍数
3k+1は3の倍数に1足した数
3k+2は3の倍数に2足した数

これらの式で、全ての数字（但し整数）が表せます。

3 、3+1 、 3+2 、6 、 6+1 、 6+2 、 9 、 ･･･
（4） （5） （7） （8）

minana

なぜ2番の問題はKを3個使っているのでしょうか？
3Kだけではダメですか？

ぽーちき

3kだけだと全ての数字（整数）を表せないからです。

3kだけ ▶︎ 0、 3、 6、 9、 12、 15 ･･･

（ ↑ 全ての数字は3の倍数だけでは無いですよね ）

minana

わかりました！ありがとございます。