Question

ゆきや

なぜこの範囲で異なる二つの実数解を持たなきゃいけないのかを、図形的に説明して欲しいです、計算でこうなるのは理解しました。
あと、成り立つための［2］〜［4］の必要な理由をお願いします

重要 例題 154 楕円と放物線が4点を共有する条件
0000
楕円x2+2y2=1と放物線4y=2x2 +α が異なる4点を共有するための、定
の値の範囲を求めよ。
2次曲線どうしの共有点の座標も、その2つの方程式を連立
させて解いたときの実数解であることに変わりはない。
楕円x2+2y2 = 1, 放物線4y=2x2+αはどちらもy軸に関し
て対称である。 よって、 2つの曲線の方程式からxを消去し
√2
√2
て得られるの2次方程式の実数解で,
<y<
の
2
2
数学1年)
解答
範囲にある1つのyの値に対して、xの値が2つ、すなわ
ち2つの共有点が対応することに注目。
x2+2y2=1,4y=2x2+αからx を消去して整理すると
4y'+4y-(a+2)=0
√2
x=1-2y
4y=2x2+αに代
る。
x2=1-2y2≧0から
Sys-
2
2
与えられた楕円と放物線はy軸に関して対称であるから, 2左の解答では、
つの曲線が異なる4つの共有点をもつための条件は,①が
√2. √2
2
<y<- で異なる2つの実数解をもつことである。
2
よって、 ①の判別式をDとし,f(y)=4y'+4y-(a+2) とす
ると,次の [1] ~ [4] が同時に成り立つ。
[1] D>0 [2] (√2) > 0 [3] √(√2) 20
√2
√2
[4] 放物線y=f(y) の軸について
<軸く-
2
2
次関数 Y=f(y))
ラフが
2
軸と異なる2つ
共有点をもつ条件と
読み換えて解いてい
(このような考え
は数学Ⅰ で学んだ
[1] 1/2=2°-4.{-(a+2)}=4(a+3)
+
D> 0 から a+3>0
よって a>-3
AS
2
√√2
[2]>0から2/0
ゆえに
a<-2√2
③
検討
[3] (√)>05 -a+2√2>0. a<2√2 ... 04²+4y-14
軸
2
[4] y=1/2は<-/1/くを満たす。
②~④の共通範囲を求めて
-3<a<-2√2
変形し,放物線
Y=4y'+4y-2と直
αが異なる2つ
有点をもつの
囲を求めてもよい。
④ 154
練習 2つの曲線 C: x-
G₁ = (x − 3232)² + y
は,正の定数kがどんな値の範囲にあるときか。
+y2=1とCz:x2-y2=kが少なくとも3点を共有する
[浜松医大 ]
p.620 EX
基本

楕円 放物線

Answer 1

和

前半
指針の図の通りです
円の上から下まで（ただし上端と下端を除く）
の範囲に異なる2つの共有点をもてば、
2つの共有点それぞれにy軸対称の点があり、
合計4つの共有点をもつことになります

後半
数Ⅰの2次関数でやった「解の存在範囲」の処理です
傍注にもその旨書いてありますね
判別式の条件、端点の条件、軸の条件
の3種類の式を立てます
このうち端点の条件に該当するのが[2][3]です
f( )≦0になると、解が少なくとも1つ、
範囲から出てしまいます

ぜひ、「解の存在範囲」の復習をしてください

ゆきや

後半はわかりました。しかし前半は二次方程式を解いているわけなのでまず解が二つ出てきてxを求めようとした時に代入する式が二次方程式なので4つになる感じなのだろうと思っています、それで後半ので対称にして4つ出てくる範囲を求めているということでいいですか？

和

あなたのそのコメントは正しいです

2次方程式は最大で2個しか解をもちません
少なくとも①の解が1個以下なら、
共有点は4点になりません
2個か0個です

①の解が2個なら、グラフから共有点4点です