Question

り

なぜx=-kですか

第3回 数学Ⅱ, B, C (100点/70分)
第1問~第3問は必答。 第4問~第7問から3問選択。 計6問解答。)
第1問 (必答問題)(配点 18)
[1] a,b,c を実数の定数として、3次方程式と2次方程式
を考える。
x+ax²+bx+c=0
x+ax+2=0
(2) 3次方程式 ①がx=1-√3i を解にもつとき, それと共役な複素数も解にもつ
オ [x+ カ
で割り切れる。そのときの商を
から ①の左辺は, 2次式
xkkは実数とおくと, a, b, cはそれぞれんを用いて
a= キ
b= ク
C=
と表される。
このとき 3次方程式 ①と2次方程式 ② がただ一つの共通な解をもつならば,
その解は
(1)a=b=-1,c=2のとき、3次方程式 ① の解は
である。
イ
ウ
x= ア
エ
(第3回-1)
x= コ
である。 ただし, 重解は一つの解とみなす。
E
キ
~
ケ
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
-2k-2
11-2k+4
(2)
4k-2
数学II,数学B 数学C第1問は次ページに続く。)
8 3k
⑤5 k+2
9 4k
-2k
(6) 2k-4
(3) -k-4
⑦ 2k
(数学II,数学B,数学C第1問は次ページに続く。)
(第3回2)
c

2
[1](1)a=b=-1,c=-2のとき、①は
x3x2-x-2=0
左辺を因数分解すると
(x-2)(x²+x+1)= 0 {A
1
3
2
h
よって x = 2 または
2
したがって、 ① の解は
3
x=2,1
1±√3i
2
x+x+1=0
(2)①は係数が実数の3次方程式であるから,① が x=1-3i を解にも
つとき, x=1+√3iも解である。ここで
(1-√3i)+(1+√3i)=2
(1+√3i) (1-√3i)=1-3=4
[A]
因数定理
多項式P(x) 1次式 x-α を因数
にもつ
P(α)=0
P(x)=x-xx-2 とすると,
P(2) =0であるから, P(x) は x-2
を因数にもつ。
点
2
2
より、 2数1+√3i, 1-3i を解とする2次方程式の1つは
x²-2x+4=0 B
2
よって、 ①の左辺はx²-2x+4で割り切れる。
2
このときの商が x+kであるから
x+ax2+bx+c= (x²-2x+4)(x+k)
Point
x+ax²+bx+c=x+(k-2)x2+(-2k+4)x+4k
これはxについての恒等式であるから, 両辺の同じ次数の項の係数を比
較すると
a=k-2 (④),b=-2k+4 (①),c=4k (⑨)
いま、 ①の解は-k, 1±√3i であり、 ①と②がただ1つの共通な解をも
つとき1+√3i や 1 - √i が共通な解になることはない。
よって, 共通な解はx=-kである。
②にak-2およびx=-k を代入すると
k2-(k-2)k+2=0
2k+2=0
k=-1
C
このとき、①の解は 1, 1±√3i, ②の解は,x2-3x+2=0より, x=1,
2であるから,条件に適する。
したがって, 共通な解はx=1
(第3回-3)
B
2数を解とする2次方程式
2数α βを解とする2次方程式の
1つは
x²-(a+B)x+aß = 0
C
②の係数は実数であるから,
1±√3i の一方が②の解であれば,
もう一方も②の解となり, 条件に
適さない。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

質問アンダーラインのすぐ上に書いてますが、
実数解1つと虚数解2つだと共通解は実数解になるから。

虚数解が共通解だと2つとも共通解になり1つの共通解にならないから🙇