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まず、3回で6点以上が確定する確率を求めます。3回終了時点で、a₂a₁a₀となっています。この状況で、10進数にしたときあり得る6以上の数は111₂の7か、110₂の6です。
よって、(1/3)³ + (1/3)² • (2/3) = 3/27 = 1/9 ･･･ ①
次に、3回目の段階で6点以上が確定しているとき、5回終了時15点以上となる確率を求めます。
3回目の段階で6点以上となるのは上の議論から
111₂または110₂です。なので、場合分けをします。
(i) 111₂(10進数ならば7)のとき
4回目に1が出れば、7+8=15で条件を満たす。よって、この場合、15点以上とならないのはa₄ = 0, a₅ = 0のときのみ。考えられるのは11111, 10111, 01111の3通り。
(1/3)⁵ + (1/3)⁴ • (2/3) + (1/3)⁴ • (2/3) = 5/243
(ii) 110₂(10進数ならば6)のとき
a₄ = 1でも、6+8=14なので条件を満たさない。よってa₅ = 1でないといけない。よって考えられるのは11110, 10110の2通り。
(1/3)⁴ • (2/3) + (1/3)³ • (2/3)² = 6/243
(i),(ii)より、5/243 + 6/243 = 11/243 ･･･ ②
①,②より求める条件付き確率は
11/243 ÷ 1/9 = 11/27
とてもわかりやすかったです！！ありがとうございます！