Question

まほ

これの解き方を教えてください！

Answer 1

gößt

変数であるxが4ヶ所もあると値域を求めるのは大変です。そこでxの数を減らしていきましょう

<最小値>
(x²+2x+1)/(x²-x+1)=(x+1)²/{(x-1/2)²+3/4}
ここで、
(x+1)²≧0, (x-1/2)²+3/4>0
なので、
(x²+2x+1)/(x²-x+1)≧0
よって最小値は0で、x=-1のとき

<最大値>
(x²+2x+1)/(x²-x+1)
={(x²-x+1)+3x}/(x²-x+1)
=1+{3x/(x²-x+1)}
よって 3x/(x²-x+1) の最大値を求めて1を足せばいい
x²-x+1>0 なので、3x/(x²-x+1) が最大値を取るとき x>0
このとき、
3x/(x²-x+1)=3/(x-1+1/x)
であり、x>0 だから相加相乗平均の不等式より
x+1/x≧2√(x•1/x)=2 (等号はx=1のとき)
よって、
x-1+1/x≧1
∴3/(x-1+1/x)≦3
∴1+3x/(x²-x+1)≦4
なので (x²+2x+1)/(x²-x+1) はx=1のとき最大値4をとる

以上より、(x²+2x+1)/(x²-x+1) のとりうる値の範囲は
0≦x≦4

gößt

高1だと、もしかしたら相加相乗平均はまだ習ってないですかね？その場合は
x+1/x=(√x-1/√x)²+2≧2
とすればいいです

まほ

習いました!あーなるほど！難しいですね…でもわかりました！ありがとうございます！