円同士や円と直線が接する問題では、円の中心と接点を結んだり、円の中心同士を結んだりするとうまくいきます
図のように、半径が2a, a, a, 1の中心をA, B, C, Oと名付けます(間違えて問題文で既にでてきているCを使ってしまいましたが画像変えるの面倒なのでそのままいきます)
1枚目の画像の赤線の部分だけ取り出したのが2枚目です。４つの円が接していることからそれぞれの線分の長さがわかります
AOとBCとの交点をHとおくと、∠AHB=90°になるので、２つの直角三角形ABH, OBHに注目することでaを求めます
△ABHについて、
AH=√{(3a)²-a²}=(2√2)a
∴OH=(2√2)a-(1-2a)=(2+2√2)a-1
△OBHについて、
a²+{(2+2√2)a-1}²=(1-a)²
a²+(12+8√2)a²-2(2+2√2)a+1=1-2a+a²
4(3+2√2)a²-2(1+2√2)a=0
a>0だから
4(3+2√2)a-2(1+2√2)=0
a=2(1+2√2)/4(3+2√2)
=(4√2-5)/2
すみません！
ありがとうございました😊