係数比較と同じようなことをやっているだけです
左辺=０なので０以外考えられません
この式の残りがTn+1-3Tn=０となれば
Tn+1=3Tnとなって等比数列に持っていけるからです
そのためには2α-1と-α+2β-1がともに０であればいいので答えのようになります
Tn+1=3Tnの等比数列の形にしたい→2α-1と-α+2βがともに0
という流れは理解できますが、
もし2α-1と-α+2βがともに0でない値なら等比数列になりませんよね？そのときのことは考えなくていいのでしょうか？
バカですいません(TT)
この問題はSnを求める問題で、そのために補助的にTnを使っています。ということはTnが何らかの形で求められればいいので0でないときは考える必要がありません
なぜ左辺(右辺ですか？)が0なら
2α-1=0、-α+2β-1=0 以外考えられないんですか？
残りのTn+1－3Tnが0じゃないかもしれないことないですか？