Question

waraya

分かりません
誰か教えください!!

微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

煮干し

平均値の定理を利用します。
まず与式の
両辺をa-b(>0)で割ります。

{log(a+1)-log(b+1)}/（a-b)≦1

{log(a+1)-log(b+1)}/{(a+1)-(b+1)}≦1

g(x)＝ logxとおく。
任意の正数xに関して連続かつ微分可能。

開区間(b+1,a+1)で微分可能
閉区間[b+1,a+1]で連続

ここで平均値の定理より

{g(a+1)-g(b+1)}/{(a+1)-(b+1)}=f'(c)
この等式と以下の不等式
b+1<c<a+1を満たす実数cが存在する。

g'(x)=1/xより
{log(a+1)-log(b+1)}/{(a+1)-(b+1)}=1/c・・①

0<b+1<c<a+1・・②
②より
0<1/(a+1)<1/c<1/(b+1)

①に代入すると
1/(a+1)<{log(a+1)-log(b+1)}/(a-b)<1/(b+1)
b>0より1/(b+1)<1

{log(a+1)-log(b+1)}<1
証明終了…ですかね⁇

waraya

ありがとうございます!!