✨ ベストアンサー ✨
高校範囲であれば、はさみうちの原理から証明可能ですね。
こんな感じですかね。eについての定義も証明できますが、高校範囲では当たり前の事実として定義されるでしょう。
はさみうちを使わないならば、ε-δ論法やマクローリン展開より証明可能ですが、これについても高校範囲では不要でしょうね。
2日前のやり取りに口出ししてすみませんが、議論が変な気がします⋯
はじめの不等式に登場するm,nは自然数でしょうか？実数でしょうか？
はさみうちの原理を用いることのできるケースは①を用いて②や④を示す場合だと思います
n>1、mは自然数ですね。今気づきましたが、m=<n=<m+1のもとでやらないといけないですね…。
あとでやり直してアップさせていただきます。
はさみうちは①でも使えると思いますが…。ただ、途中に(1+1/m)^mが出てくると思うので、証明が入れ子になってしまいますね…。そうなれば、2や4を示す場合のみに限定されますね。
nとmがともに自然数なら、h=1/m とおいて
lim[m→∞](1+1/m)^m=e
を示したときと同様に、h=1/n とおけば直接
lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が示せるのでは？
m≦n≦m+1 という不等式評価はおそらくアルキメデスの原理(ないしはガウス記号)のようなものを想定されているのだと思いますが、これは実数xを自然数ではさむときに有効であってnが自然数のときは n≦n<n+1 ですからあまり効果はないと思われます
どうやってやるんですか？