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1枚目
(1)はいいですね。色々方法がありますが、k=x+y とおき条件式に代入してyを消去すれば、xについての二次方程式が実数解を持つことからkの範囲が得られます
(2)x²-xy+y² と x⁴+y⁴ がともに対称式であることに注目します
k=x+y
とおくと、x²-xy+y²=1 より
(x+y)²-3xy=1
xy=(1/3)(k²-1)
x²+y²=1+xy=(1/3)(k²+2)
したがって、
x⁴+y⁴=(x²+y²)²-2(xy)²
={(1/3)(k²+2)}²-2{(1/3)(k²-1)}²
=(1/9){(k⁴+4k²+4)-2(k⁴-2k²+1)}
=(1/9)(-k⁴+8k²+2)
=(1/9){-(k²-4)²+18}
(1)より -2≦k≦2 なので、最大値は2、最小値は2/9となります
2枚目
まず、お気付きかとは思いますが、ωは1の三乗根です
(1)はいいですね。ω³=1 なのでnを3で割った余りで場合分けします
(2) f(x)=(x+1)ⁿ-xⁿ-1 とおきます
f(x)は有理数係数の多項式なので、f(x)=0 が x=ω を解にもつならばその共役複素数 ω² も解にもち、よってf(x)は x²+x+1 で割り切れます
(もちろん f(ω)=f(ω²)=0 を直接示してもOKです)
f(ω)=(ω+1)ⁿ-ωⁿ-1
=(-ω²)ⁿ-ωⁿ-1
=-ω²ⁿ-ωⁿ-1 (∵nは奇数)
=-(ω²ⁿ+ωⁿ+1)
あとはnを3で割った余りで場合分けして f(ω)=0 を示せばいいです
理解できました！ありがとうございます😊
たいへん分かりやすい説明でした!!!