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結構難しい話ですが、具体的にイメージしてみることが大切です。ここでは話を簡単にするために、どちらの問題でも白、黒、赤、青、黄、緑の6色を塗る場合を考えます。
練習の問題では立方体に色を塗るので、これは自由に回転させることができます。だから、一番上の面に白を塗ると決めてしまっても、他の5色の塗り方さえ変えれば、全ての色の塗り方を実現できます。
あとは円順列の考え方に持ち込むためには下の面に塗る色を決める必要があり、この選び方が5通りです。
したがって、立方体では、固定する向かい合う面の色の塗り方は全部で5通りです。
一方、演習の問題では直方体に色を塗るので、a×cの4面同士は回転できるけれども、a×aの2面は自由に回転させることはできません。
だから、a×aのこの2面を固定するとき、一番上の面に塗る色を1つに決めることはできません。例えば、上の問題のように白を塗る場合だけを考えると、白がa×cの面に塗られる場合を実現できなくなり、数え漏れが出てきます。
上の問題同様、円順列に持ち込むためには、固定するa×aの2面の色の塗り方を決める必要があり、この塗り方は結局6C2(通り)となります。この2面だけは上下を入れ替えることが可能なので、コンビネーションを使うことには注意が必要です。
かなりの長文になってしまったので、わかりにくいところがあれば質問してください。
重ねてすみません。練習で6C2を使うとどのような弊害が出てしまうのでしょうか
まず、6C2という数で、固定する2面を塗る全ての組み合わせを数えたことになるのはいいでしょうか？
もし、練習の問題でこれを用いると、例えばその2面の塗り方には(白、黒)、(赤、青)、(黄、緑)などが含まれていて、さらにその後、それぞれの場合で円順列を考えて塗り方を求めることになります。
しかしこのとき、対面が(白、黒)、(赤、青)、(黄、緑)で塗られた立方体は、固定する面の違いで3度も数えられてしまいますが、これらは回転して一致する全く同じ塗り方です。つまり、重複が生じてしまいます。
面の大きさが異なる直方体では、同じ大きさの面同士以外で回転させられないので、重複する塗り方の排除するのに、円順列と上下の面の反転を考えるだけで済みます。
しかし、立方体では面はどこを選んでも同じなので、固定する面の色まで自由に選ぶと、多くの重複が生じます。だから、色の方を固定して円順列に持ち込む必要が生じてしまうという感じです。
また、長文になってしまいました。自分も完全に理解できたかどうか怪しいので、ところどころわかりにくいかもしれません。
本当にありがとうございました！なんとなくですがイメージを持つことが出来ました！ありがとうございます！
丁寧にありがとうございます😆
大きさが違うものは別物扱いなので、例題では上を白と固定して下の塗り方が5通りと定めても円順列を定めればよかったわけですが、演習では大きさが違うものどうしは干渉し合えないので同じペア同士で考える。同じ大きさのものが2つなので6個の色から2つの色の組み合わせを合わせるということでしょうか？すみません、理解が足りず🙇♂️この解釈よりももう少しいい解釈があれば教えていただきたいです🙂