Question

ゲスト

何故これでα＝z＋1/zが実数であることが示されるのですか？教えて下さい🙇‍♂️

8 素数<について, |<|=1 のとき, gニ<一 は実数であ。

ことを証明せよ。
/

208 =1 から
すなわち zz =1

|ドニ1

 

三る

十

直 そつ
は| ュー
ETのT
!
上5 十る
六 さ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

解答に至るまでのプロセスを説明します.
証明したいことは, αが実数であること, これは虚部が0であることと同じですよね.
虚部が0ならばαと共役複素数α'('で書きます)も同じです. 具体的にはα=a+biとするとα'=a-biですが, b=0なのでα=α'.
α=α'⇔z+(1/z)=z'+(1/z)'を示したい. ここでzとz'の関係が必要なことに気づきます.
与えられた条件である|z|=1を利用して, |z|=1⇒z^2=1⇔z*z'=1.
|z|=1なのでz≠0なのでz=1/z'またはz'=1/zとすることが出来ます.
これを使うとα=z+(1/z)=(1/z)'+z'=α'となってOKです. 以上を答案を書く前にメモ欄で考えを錬ります.
以下は私の解答です. こちらの方が分かりやすいと思うのですがどうでしょうか?
***
条件より|z|=1なのでZ^2=z*z'=1である. |z|=1≠0なのでz=1/z', z'=1/zが成り立つ.
したがってα=z+(1/z)=(1/z)'+z'=α'.
αとその共役複素数α'が等しい, すなわちαの虚部が0なのでαが実数であることが示された□

ゲスト

なるほど！そういう事だったんですね。
丁寧な回答のお陰で十分に理解する事が出来ました。ありがとうございます！