✨ ベストアンサー ✨
数3のド•モアブルの定理をすでに習っているのであればそちらの方が早いです。習ってない場合は以下のようにしてもできます。
z=a+biとおきます。
(a+bi)^3=i
a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=i
(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i=i
a，bは実数なので、a^3-3ab^2，3a^2b-b^3はともに実数です。
a^3-3ab^2=0…（ア）
3a^2b-b^3=1…（イ）
（ア）より、
a(a^2-3b^2)=0
よって、a=0、または、a^2-3b^2=0
a=0のとき
（イ）より、
-b^3=1
b^3+1^3=0
(b+1)(b^2-b+1)=0
bは実数なので、b=-1
a^2-3b^2=0のとき
a^2=3b^2…（ウ）
（イ）に代入して、
3・3b^2・b-b^3=1
8b^3-1^3=0
(2b-1)(4b^2+2b+1)=0
bは実数なので、b=1/2
（ウ）に代入して、
a^2=3/4
よって、a=±√3/2
したがって、
z＝-i，(i±√3)/2
長文ありがとうございます！わかりました！！