Question

国強になりたい

学校の先生が漸化式の問題で、なぜ特性方程式を使って問題が解けるのかを証明するには大学の範囲も絡んでくると言っていたのですが、本当ですか？隣接３項間漸化式は行列が絡むみたいですが、単なる
a_n+1=pa_n+q型は、等比型に変形できると仮定→係数比較っていう感じで特性方程式を導くと言った感じなので大学の範囲は必要ありませんよね？

Answer 1

黒龍

すみませんが、「単なる～を導く」のところがイメージできませんので、実際どのように導くか見せてもらってもよろしいですか？m(__)m

国強になりたい

こうです

黒龍

なるほど。
解ける形から逆算してアルファの条件を求めたんですね。

それで、その等式が特性方程式に一致している、と。

確かに、アルファの条件式と特性方程式は一致しています。
しかし、どうして一致するのでしょう？

考えてみればおかしな話ではないですか？
漸化式から厳密に変形して求めた条件式が、a_(n+1)とa_nをαに置き換えるだけで出せるなんて。
しかも本来違うはずのa_(n+1)とa_nを同じαで置き換えるのは数学的に問題があるように見えます。

そうかんがえると、国強さんの方法で特性方程式が出たのはたまたまなのではないでしょうか？

まるで途中式は間違えてるけど答えだけは合ったような。

黒龍

果たしてαの置き換えによる特性方程式が条件式に一致するのはたまたまなんでしょうか。
それとも数学的にきちんと裏付けができるものなのでしょうか？

この問いに答えることこそが、特性方程式を使って漸化式が解けると証明することなんです。

国強になりたい

確かにたまたまかと思えますよね…
なんで解けるのか？
と言われると、変形を仮定したらこの形が出てくるから
としかわかりません…