Question

ゲスト

三角関数の問題の途中式なんですけど、

t²=1+sin2θ
t=√2sin(θ+π/4)

とあるのですが、なぜこうなるのでしょうか……

また、もう1題、同じく三角関数の問題で

f(x)=2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+1
=√2(sin2x・1/√2+cos2x・1/√2)+1
=√2sin(2x+π/4)+1

という途中式があるのですが、下2段がどうしてこうなっているのか分かりません……

数学本当に苦手なので、できるだけ分かりやすく教えてくださると助かります💦
(上と下は全く別の問題です！
片方でも大丈夫なので、ぜひぜひ教えてください！)

Answer 1

試作品626号

1+sin2θ=1+2sinθcosθ=(sin²θ+cos²θ)+2sinθcosθ
=(sinθ+cosθ)²=t²
⇒t=sinθ+cosθ=√2(1/√2sinθ+1/√2cosθ)
=√2sin(θ+π/4)
tの変形ですが、三角関数の合成を使っています
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
を利用します

ゲスト

回答ありがとうございます！

教えて頂いたことで1つ気になったのですが、三角関数の合成の公式を確認したところ、
asinθ+bcosθ=√a²+b²sin(θ+‪α‬)
と書いてありました！
教えて頂いた、
sin(a+b)=sin(a)+cos(b)+cos(a)sin(b)
という式は加法定理の公式として書いてあったのですが、加法定理と三角関数の合成は同じようなものなのでしょうか？

私自身かなりの知識不足だと思うので、変なこと聞いていたら本当にすみません💦
もし良ければ教えて頂きたいです……！

Answer 2

なお

tは、sin2θを-cos(2θ+π/2)とみなして、半角の公式を使うだけ。
そちらは、三角関数の合成。教科書にも載ってるレベルです。わざわざ説明するのは面倒です

ゲスト

回答ありがとうございます！
三角関数の合成、確認してみます！

なお

まあ、三角関数の合成って結局加法定理が見えるように都合よく変形しているだけなんですけどね

なお

このことに気がついていない学生が多いのは、嘆かわしいことです。

ゲスト

そうだったんですね！！
全然気づかなかったです……