Question

ブドウくん

問題ではy''を使ってますが、そんなことしなくてもy'から増減表が書けるから極大、極小が求まると思うんですが、間違ってますか？わざわざy''を求めさせている理由を知りたいです。

207 | 関数の極値(⑦ の和肌)                                              軸

'                                                   支衣吉云支

                                                                                                                                                                                                                                                                   

 
   
 

賠散を 利用して,  次の関数の極価を求めょ

上              て
ャーo*cosェ   (0sxs2)

 

  

=0 を講たすとの値を求め.

772       た    ン
明 )    ャテー0.y"く0 一っ >は 極大         シレまる と

ッー0。y">0王っ マッは 李小
g放 極値   ゞ の待号の変化を調べよ   y” も利用

>
ャーーの"COSそーの@ S1nそ三e"(cosx-sinx)

 

 

 

礎     の    了
デア 2 e*cos [ィ+一-
g cos(*+ 4 )
ザマの【CO8えeinz) 十e*(一Hiロデニcos お)        アーe"(cosァーsiny)
=テー2ersinr                           を微分すると計算がら
アー0 とすると, 0<ェ<2テから                    ^
 ・      5
そおうかがい人    ゆえに ェ=そ. 二   4アー0 を満たすとの人
   もな        9                 8       は cosr=sinr の解
xs のとき    0. アア<0 であり. 了は極大         と考えても求められる
ロ              補
+ィニーァ のとき   0. >0 であり, ッは極小。
よって ェー季 で往大値 し 。*
4       2
ェーー で極小値 上ik をとる
72

7 ァ]     /
の    Cys央 すす  6eテ(css

we 到 う ( <c ー sj )

ゴミ 0 でうとてミ 630 了チ)

 
   

2て た公 一@

1    6
た ててac牧人  ry eT

Answer 1

にゃんこ

y'=0のときはあなたがおっしゃる通り増減表を書けば極値(極大値,極小値)はわかりますが、
それはあくまで増減表を書いた場合です。

y'=0のときは極値を取るのともう１つ変曲点も中に含みます。すなわち、y'=0だからといってそれが必ず極値だとは限らないということです。

それを確認するためにy"を求めているのです。
(増減表を書かなくても解ける)

ブドウくん

理解力がなくて申し訳ないんですが、2段落目がわかりません。
写真でいうと、f'(x)=0を解いてもx=3は出てこないと思うんです。y'=0を解いたら変曲点が出てくるっていうのはどういうことでしょうか。極値と変曲点が一致するような場合を排除してるということですか？

にゃんこ

混乱させてすみません、

極値と変曲点が一致するような場合を排除してるということですか？

↑それを含めy"を求めることでグラフの概形が鮮明にわかりどこが変曲点でどこが極値なのかがわかります。

私が言っていたのは以下のような場合です。

y=x³
y'=0のとき、x=0,y=0でありますが、
極値を持ちません。
点(0,0)は変曲点になります。

にゃんこ

いや、極値と変曲点は一致しませんね

ブドウくん

たぶん、わかったと思うんですがこういうことでしょうか？y'=0だからといっていつでも極値をもつわけじゃなくて、接線の傾きの正負が変化しないから極値を持たない場合もあるから、それを調べるためには増減表を書くか、y''の符号を調べるかで、増減表を書くのが複雑な場合にはy''を考えて、その正負で極大か極小を決めるということですよね？
考えてみたら、極値と変曲点が同じなんてありえないですね...。