Question

ゲスト

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0をコーシーシュワルツの法則でどうやって解けますか？

Answer 1

LUX SIT

f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-caとすると, f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)のように巡回します.
これからCauchy-Schwarzの不等式や相加平均・相乗平均の関係で解けるのでは?と判断したのは正しいです.
***
a,b,cの三変数に関して適用すると
(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)^2
となってうまくいきません. そこでab, bc, caが二変数であることに気づけば
Cauchy-Schwarzの不等式から
(1^2+1^2)(a^2+b^2)≧(a+b)^2⇔a^2+b^2≧2ab [等号成立はa=b]
(1^2+1^2)(b^2+c^2)≧(b+c)^2⇔b^2+c^2≧2bc [等号成立はb=c]
(1^2+1^2)(c^2+a^2)≧(c+a)^2⇔c^2+a^2≧2ca [等号成立はc=a]
が成り立ちます.
すべて足してやると
(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)≧2(ab+bc+ca)
⇔2(a^2+b^2+c^2)≧2(ab+bc+ca)
⇔a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0 [等号成立はa=b=c(3条件が同時に成り立つ必要があることに注意)]
となって所望の不等式が導かれました.

LUX SIT

勘違い[指数が3乗だと錯覚…]をしてトンデモない大嘘を言ってました.
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a,b,cの三変数に関して適用すると
(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)^2
⇔3(a^2+b^2+c^2)≧(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)
⇔2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)≧0
⇔a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0
なので簡単に解決しますね.
***
a+b+c=1*a+1*b+1*cと見るところが初見の人には難所でしょう.

ゲスト

とても丁寧に解説してくださりありがとうございます🙇‍♂️💦
おかげで分かりました！