✨ ベストアンサー ✨
加法定理から[倍角公式を覚えていたら, それをいきなり使えばいいです.]
cos2θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ=cos^2θ-sin^2θ=(1-sin^2θ)-sin^2θ=1-2sin^2θ
sinθ=tと置いたので
cos2θ=1-2t^2
ここで0≦θ<πなので0≦sinθ≦1⇔0≦t≦1の範囲をとりうることに注意しよう[置き換えしたときはその変数のとりうる値も調べる].
y=f(θ)とすると
y=3cos2θ+4sinθ=3(1-t^2)+4t=-3t^2+4t+3 [0≦t≦1]
これはtに関する2次関数なので平方完成すると
y=-3(t-2/3)^2+3*(2/3)^2+3=-3(t-2/3)^2+13/3
ここでt=2/3[0≦t≦1の範囲にありますよね. 確認が必要な理由が分かりましたか?]のとき, 最大値13/3をとります.
[ちなみに最小値はt=0のとき, 3です. t=1のとき, -3(1)^2+4*1+3=4との比較で決まります.]
ありがとうございます！