Question

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高校数学3
複素数平面の問題です。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

Lo        SE ELI sc

<は0 でない複素数とする、z三 が実数となるとき, 覆素数平面上において。 点々

    
 

はどのような図形を描くか.

複素数平面

Answer 1

LUX SIT

取っ掛かりの部分は理解していると思います.
***
z+2/zが実数なのでz+2/z=(z+2/z)*=z*+2/z* [*で共役を表すことにします.]
|z|^2=zz*≠0を両辺に掛けると
z|z|^2+2z*=z*|z|^2+2z
⇔(z-z*)|z|^2-2(z-z*)=0
⇔(z-z*)(|z|^2-2)=0
⇔z=z*≠0 or |z|^2=(√2)^2
以上から点zは原点を除いた実軸と原点を中心とした半径√2の円を描く.
***
[別解]
z=re^iθ[r>0]とするとde Moivreの定理から
z+2/z=re^iθ+(2/r)e^(-iθ)=(r+2/r)cosθ+i(r-2/r)sinθ
これが実数となるから
(r-2/r)sinθ=0⇔r-2/r=0 or sinθ=0
前者はr=√2. すなわち原点を中心とする半径√2の円. 後者は実軸を表す. ただしz≠0なので原点を除く.
以上から点zは実軸から原点を除いた部分と原点を中心とする半径√2の円.