Question

はーふ

教えてください！💦

空間内の4点O. AB, Cに対してO4=4, Oぉ=の, OC=<とする。

折
財

さ!
I
ご
ざ!
Qi
I
Si
kr】1
I
I

これらのベクトルが4 =の-ち=でで=1。 g・

H

を満たすとするとき、以下の問いに答えなさい
(1) 点Cを通りAOAB を含む平面に垂直な直線がこの平面と交わる点をD と

するとき、ベクトルCDを2, /, でを用いて表しなさい。
(2) 四面体 OABC の体積を求めなさい。

ベクトル 空間ベクトル 位置ベクトル

Answer 1

LUX SIT

(1)
点Dは点O, A, Bを含む平面上にあるから
CD=sCA+tCB+(1-s-t)CO
=s(a-c)+t(b-c)+(s+t-1)c
=sa+tb-c [sa+tbは点Oを始点とした平面上の点. もちろんそこから導いてもよい.]
と表せる
CDは△OABを含む平面に直交するからCD・a=CD・b=0が成り立つ. したがって
s|a|^2+ta・b-c・a=0⇔s-(1/3)=0⇔s=1/3
sa・b+t|b|^2-c・b=0⇔t-(1/√2)=0⇔t=1/√2
と定まって, CD=(a/3)+(b/√2)-cと書けることが分かった.
***
(2)
|a|=|b|=1, a・b=0から△OABは∠AOB=π/2の直角二等辺三角形であることが分かる.
したがって線分CDは四面体OABCの底面を△OABに見立てた時の高さといえる.
|CD|^2=(1/9)|a|^2+(1/2)|b|^2+|c|^2-(√2/3)a・b-(√2)b・c-(2/3)c・a
=(1/9)+(1/2)+1-1-(2/9)=7/18
⇔|CD|=√7/3√2=√14/3
したがって四面体OABCの体積は
(1/3)*(1/2)*(√14/3)=√14/18.

はーふ

ご丁寧にありがとうございます！！とても助かりました！

図々しいのですがもう１つ質問してもいいですか？
この時の図ってどのように書いたらいいのでしょうか…
空間ベクトルの図をイメージするのがすごく苦手で💦
教えていただけたら嬉しいです！無理なら全然断ってください💦