a(n+1)=x a(n)+y型は、a(n+1)とa(n)をαに置き換えて、
その置き換えた下の方程式(特性方程式)を解きます。
(この過程は解答に書いてはいけません)
α=xα+y
すると、この方程式の解αを用いて、元の漸化式は、
次のように表せます。
a(n+1)-α=x(a(n)-α)
これを変形すると、
a(n+1)=x a(n)+α-αx
=x a(n)+y
となるので、確かに元の漸化式になることも確認できます。
ここからa(n)-αをb(n)とおくと、
b(n+1)=x b(n)となるので、これを考えていきます。
では、元の質問の問題を解いていきます。
memo
α=1/2α-3を解いて、α=-6
(解)
元の漸化式を変形すると、
a(n+1)+6=1/2 (a(n)+6)
ここで、a(n)+6=b(n)とおくと、
b(n+1)=1/2 b(n)
数列｛b(n)｝は初項b(1)=a(1)+6=1+6=7
公比1/2 の等比数列なので、
b(n)=7・(1/2)^(n-1)
a(n)+6=b(n)を用いて、
a(n)=b(n)-6
= 7・(1/2)^(n-1) -6
となります！
