Question

ゲスト

簡単にでも良いので、解説をお願いします。
自信ないですが途中までやってみました。

問題1 0" の180 とする。9に関する方程式2coe2 6+ 2csin98ニ0
が典なる 4 つの解をももつとき qの仁和囲を求めよ。

D2 Oi主       2
Toy>0 でっ toO>o

0     0<界<し.

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2て24てで |29         1      4#

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

秋

たぶん、たぶん、、、、

ゲスト

助かりました、ありがとうございます!☺︎
理解できました。

Answer 2

LUX SIT

答案を見ると大枠は理解していると思います.
この問題で難しい点は「解の個数とθの対応」で, それが脳内を混乱させているのだと推察します.
***
2cos^2θ+2a*sinθ-3=0⇔2(1-sin^2θ)+2a*sinθ-3=0⇔2sin^2θ-2a*sinθ+1=0
と変形します. これは好みの問題ですが, 最高次は正の方が直感的に分かりやすいと思います.
解の個数を調べるためにx=sinθと置き換えてf(x)=2x^2-2ax+1(0≦x≦1)を考えます.
ここで少し厄介なのはf(x)=0がx=0, 1で解を持てば対応するθは1個, 0<x<1で解を持てば対応するθは2個あることです
[図を書こう. x=sinθがy軸でθがx軸であることをよく考えること.].
問題文によると解は4個あるのでf(x)=0は0<x<1で解を2個(対応するθは2*2=4個)持たなくてはいけません.
y=f(x)は下に凸な放物線でf(0)=1, f(1)=3-2a, 頂点位置は平方完成からf(x)=2(x-a/2)+1-(a^2/2)で(a/2, 1-(a^2/2))
f(x)=0が0<x<1で相異なる実数解を2つ持つためにはf(1)>0かつ0<a/2<1かつ1-(a^2/2)<0であることが必要十分条件となります.
[これも図を書くといいでしょう.単調な連続関数で端点の正負が異なるとき, 間に必ず0となる点があることを使っています(中間値の定理).]
これを解くとa<3/2かつ0<a<2かつ-√2<a, √2<aなので共通部分をとって√2<a<3/2と定まります.
自明ではないので1.4<√2<1.5=3/2であることも説明しておいたほうがいいでしょう.

LUX SIT

[訂正]
ここで少し厄介なのはf(x)=0がx=1で解を持てば対応するθは1個, 0≦x<1で解を持てば対応するθは2個あることです
としてください.
f(0)=1>0からこの問題ではx=0が解を持つことはないのでポイントとはならないですが, 写像の対応としては重要です.