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因数定理を拡張した剰余の定理を話題にした問題です.
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(1)
f(x)をx^2-1で割った商をp(x). f(x)をx^2-3x+2で割った商をq(x)とすると, 条件から
f(x)=(x-1)(x+1)p(x)+3x+1=(x-1){(x+1)p(x)+3}+4
f(x)=(x-1)(x+2)q(x)-3x+7=(x-1){(x+2)p(x)-3}+4
と書ける. いずれにせよf(x)を(x-1)で割った余りは4である[この見方が役に立つ問題もあります].
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剰余の定理からf(1)=3*1+1=-3*1+7=4とすれば一発で決まります.
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(2)
f(x)を3次式(x-1)(x+1)(x+2)で割った余りは高々2次式ax^2+bx+cである. 商をr(x)とすると
f(x)=(x-1)(x+1)(x+2)r(x)+ax^2+bx+c
と書ける.
剰余の定理から
f(1)=a+b+c=4
f(-1)=a-b+c=3*(-1)+1=-2
f(-2)=4a-2b+c=(-3)*(-2)+7=13.
この連立方程式を解くと
a=6 b=3 c=-5なので余りは6x^2+3x-5である.
ありがとうございます！すごく助かりました