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まずは累乗の展開を下のようにやってみましょう.
(3+2i)^2=3^2+(2i)^2+2*3*2i=5+12i
(3+2i)^3=(3+2i)^2*(3+2i)=(5+12i)(3+2i)=5*3+(12i)*(2i)+(12*3+5*2)i=-9+46i
なので
(3+2i)^3-5(3+2i)^2+a(3+2i)+b=0
⇔(-9+46i)-5(5+12i)+a(3+2i)+b=0
⇔(3a+b-34)+(2a-14)i=0
⇔3a+b-34=0かつ2a-14=0
⇔a=7, b=13
***
[別解] 剰余の定理を使う.
x=3+2iと置くと(x-3)^2=(2i)^2⇔x^2-6x+13=0を得る[x=3±2iを解とする2次方程式].
ここでx^3-5x^2+ax+b=(x^2-6x+13)(x+1)+(a-7)x+(b-13)=0と書けるからa=7, b=13.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iを使ったほうが計算ミスはしにくいからです.
というのも, 3乗の展開公式を使うと複雑にi^3(=-i), i^2(=-1), iが混じるので無駄な注意が必要となります.
こういう判断も大事ですよ.
丁寧にありがとうございます♪
どうして（x+y）³=x³+3x²y+3y²x+y³
を使わないのでしょうか、、？