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条件(B)から使います。bとcの最大公約数が30ですので、互いに素な自然数b'、c'を用いてb=30b'、c=30c'と書けます。したがってbとcの最小公倍数は30b'c'と書けます。これが420に等しいのでb'c'=14です。これを満たすような自然数(b', c')の組は(1, 14)、(2, 7)です。したがって有り得る(b, c)の組み合わせは(30, 420)、(60, 210)です。
(b, c)=(30, 420)の時、問題の条件を満たすようなaが存在するか考えます。条件(C)に着目しますと、いまb=30=2・3・5、180=2^2・3^2・5ですので、aとbの最小公倍数が180となるためには、aは少なくとも2^2・3^2という因数を持たなくてはいけません。しかしこの時aは36以上になり、a<bの条件に反します。したがって条件を満たすようなaは存在しません。
次に(b, c)=(60, 210)の場合を考えます。b=60=2^2・3・5ですので、aとbの最小公倍数が180となるためには、aは少なくとも3^2という因数を持たなくてはなりません(またこれ以上3の因数を持ちません)。また、a,b,cの最大公約数が6であることも考えると(条件A)、aは少なくとも2・3^2=18という因数を持ちます。したがってaは18≦a<b=60を満たし、かつ18の倍数です。そのようなaは18と36です。
したがって最終的な答えは(a, b, c)=(18, 60, 210)、(36, 60, 210)です。
理解できました！ありがとうございます！