このパターンの漸化式は基本なので覚えましょう。
①特性方程式をつくって解く。
特性方程式はa(n+1)=a(n)=αと置いた式のことです。
すなわちa(n+1)とa(n)をαで置き換えたα=-3α+8となります。
このαについての1次方程式を解くとα=2です。
※なんでαと置いたかと言うのは「そう置くと上手くいくから」です。図形的意味なんかもありますが、難しいので省きます。
②元の漸化式と連立して引き算。
a(n+1)=-3a(n)+8
-) α =-3α +8
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a(n+1)-α=-3a(n)-(-3α)
右辺を整理すると
a(n+1)-α=-3{a(n)-α}
αは①で2と求めたので代入すると
a(n+1)-2=-3{a(n)-2} - [＊]
ここで、求めたい数列a(n)から2を引いた数列a(n)-2をb(n)と置きます。
するとa(n)のn+1番目がa(n+1)なので、それから定数2を引いたa(n+1)-2はb(n+1)と置くことができます。
よって
a(n+1)-2=-3{a(n)-2} は
b(n+1)=-3b(n)となります。
ただし模試やテストなどで書くときは
a(n+1)=-3a(n)+8の両辺から2を引いて
a(n+1)-2=-3a(n)+8-2
a(n+1)-2=-3a(n)+6
a(n+1)-2=-3{a(n)-2}
b(n)=a(n)-2とすると
b(n+1)=-3b(n)とします。
「-2を引いたら右辺と左辺で同じような塊が出来ることに気づきました。すごいでしょ？」みたいな風に書きます。
③等比数列型漸化式b(n+1)=-3b(n)を解く
この漸化式は公比が-3の等比数列を表します。あとは初項b(1)さえわかれば数列b(n)は求まります。
b(n)=a(n)-2よりn=1を代入すると
b(1)=a(1)-2
a(1)は問題で1と教えてくれているので
b(1)=1-2=-1
よってb(n)は初項-1, 公比-3の等比数列を表します。
一般に初項a, 公比rの等比数列はa×r^n-1と表せるので
b(n)=-1×(-3)^n-1
字数の関係で一回切ります。
④a(n)に戻す
b(n)=a(n)-2より
a(n)=b(n)+2です。
これに③で求めたb(n)=-1×(-3)^n-1を代入し
a(n)=-1×(-3)^n-1 +2となります。
計算ミスがなければ、これが答えです。