そもそもこの式は「a³+b³+c³」を無理やり因数分解しようとして「−3abc」が余ったんだなぁって式です。
まず、(a+b+c)と(a²+b²+c²)を用意して掛けます。
①(a+b+c)(a²+b²+c²)
ここで、展開した時にa²bやb²cなど余計なものが出てしまうので、調整をします。
②(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
※(−ab−bc−ca)が上に出てきたa²bなどの余計なものを消してくれます。
しかし、どうしても3つの−abcは消せません。だから、
③ (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
=a³+b³+c³−3abc
ということです。
このように、a²bの係数が途中で0となり消えてくれる可能性があるので特定の文字について整理することで式がまとまることがあるのです。ちなみに置き換え=整理する文字以外は定数とみなすので①とこの式を作る目的を予測することから④が必要だと僕は思います。
好みですがこのように解くことも可能ですね
こちらなら機械的に解くことができるので慣れれば楽です。