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実数係数のとき、共役な複素数も解に持つことから
他の解をcとすると
x³-5x²+ax+b=0 は
{x-(3+2i)}{x-(3-2i)}(x-c)=0と因数分解できるはずである。これを展開すると
(x²-6x+13)(x-c)=0
〜〜ここから先の展開は面倒なため書きません。知りたいのはa、b、cであるため、まず、x²の係数が5であることから、x²の係数のみ考えましょう。そうすればa、bも頭の中だけで計算できるでしょう。〜〜
係数比較して、a=7、b=13、c=-1
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x=2のとき、等式が成り立つため
与式は(x-2)を因数に持つ。
したがって、
(x-2){x²+2x-(a-2)}=0
これが異なる解が2つあるためには
⑴ x²+2x-(a-2)=0がx=2という解を持つ
⑵ x²+2x-(a-2)=0が重解を持つ
という場合が考えられる。
⑴の時、x=2を代入することによりaを求めると、
a=-6
⑵の時、重解を持つためには判別式D=0であることを利用してaを求めると、a=1
