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整式P(x)をx-aで割る。この時、適当な整式Q及びRによってP(x)=Q(x)(x-a)+R(x)(Rは多項式としての定数)とできる。いま、このもとでx=aを代入すれば、P(a)=Q(a)0+R(a)=R(a)。すなわち、P(a)はあまりのR(a)に一致する
本当は整式が割り算可能であることを言わねばならないのですが、高校範囲では言及せずに、｢できます！｣というのが一般的です。もし興味があれば環論などを調べると幸せになれるかもしれませんが、沼なのでお勧めしません
最後に、剰余の定理/因数定理は大学に入ってからも使われる重要な命題なので、理屈付けて理解するといいです。応用の範囲が広いのでね。なんなら数学Iの因数分解も因数定理でゴリ押しすることもできるので
わかりやすいです。ありがとうございます！