Question

くめ(初心者)

この2問で、すべての実数xという文の意味と不等式が成り立つ条件の部分がわかりません。
解説をお願いします

40|

 

 

(①) すべての実数*について, 不等式 z2gr+g十3>0 が成り立つように, 定数の
値の範囲を定めよ。 衝、

(②) すべての実数*に対して, 不等式 gz(ぁ1)z二40 が成り立つような定数の
値の総囲を求めよ。

1
岡画 (0 -2<z<6 ② ASミーテ

() +の63三0 の判別式を とする。

の係数は正でやるから, 常に不等式が成り立つ条件は の<0
で   の=バー4・1・(2+3)ニ6242一12=ニ(2上2XZ6)

の<く0 から, 求めるの値の範囲は   ー2くZぐ6

⑫⑳ な本(&+1)x+S0 …… ① とおく。

田 0のとき, ①は   *S0
これはすべての実数ヶに対しては成り立たない。

図 4さ0 のとき, 2 次方程式 4x2(ん+1)*エん0 の判別式を の とすると, すべての
実数*に対して, ① が成り立つための条件は <0 かっのり<s0
SE     のニニ(1)2一4・たんニー34?上2をエ1ニー(3寺1(&%-1)
ps0から (34+1X%-1)テ0

よって      4ミーュ, 1S4

*く0 との共通和囲をとると <ーよ
以上か

キッ

ら, 求めるの値の範囲は   4ミー

二次不等式 数1 数学1

Answer 1

LUX SIT

"すべての実数について"というのは文字通り"実数(直線)全体について"ということです.
この問題を不等式のみで解くならば, 以下の事実が役に立ちます.
①すべての実数xについてx^2≧0が成り立つ.
xは任意の実数なので, ある実数[適当な実数]だけずらしても問題ありません.　すなわち
①'aをある実数とする. すべての実数xについて(x-a)^2≧0が成り立つ.
といえます.
これから2次式の場合は平方完成すると, 不等式をうまく評価できることが分かると思います.
***
(1)
[解答例]
x^2+ax+a+3=(x+a/2)^2-a^2/4+a+3
と平方完成できる. すべての実数xに対して(x+a/2)^2≧0が成り立つ.
したがって与えられた不等式が成り立つためには-a^2/4+a+3>0であればよい.
これを解くとa^2-4a-12<0⇔(a+2)(a-6)<0⇔-2<a<6で範囲は定まった.
***
この不等式はy=x^2+ax+a+3がx軸[y=0]より上にある, と捉えることも出来ます.
この発想で解く場合は
[解答例]
与えられた不等式は, xについての2次関数y=x^2+ax+a+3がx軸より常に上であることと同値である.
この2次関数は下に凸なので頂点のy座標が0より大きければよい[平方完成して評価する部分は上と同じなので略します].
***
更に進んで考えると, 2次方程式x^2+ax+a+3=0が実数解を持たないことと同値であることに気づくと思います.
それを踏まえて, 判別式を用いた解答が生まれたわけです.
***
(2)
不等式kx^2+(k+1)x+k≦0はk=0のとき, 1次方程式, k≠0のとき, 2次方程式なので状況が違います.
そこで場合分けをする必要があります.
k=0のとき, x≦0となります. 一方, すべての実数というのはx≦0かつ0<xです.
つまり0<xのとき不等式を満たせないので不適というわけです.
k≠0のとき, k>0[2次関数だと下に凸]とk<0[2次関数だと上に凸]で状況がまた異なります.
そこで場合分けすると,
k>0のとき, 十分大きなx[グラフで考えるとよい]をとるとkx^2+(k+1)x+k>0となるので不等式を満たせません.
したがってk<0であることが必要条件となります.　
このとき2次方程式kx^2+(k+1)x+k=0が重解を持つ[x軸と接する], あるいは実数解をもたないこと[x軸より下である]が十分条件となるので
D=(k+1)^2-4k*k≦0⇔3k^2-2k-1≧0⇔(3k+1)(k-1)≧0⇔k≦-1/3[k>0の下で考えているからです].
となって定数kの値の範囲が求まりました.

LUX SIT

[訂正]
⇔k≦-1/3[k<0の下で考えているからです].
***
k<0なのでk-1<0だから3k+1≦0⇔k≦-1/3と解けるわけです.