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相加・相乗平均が使えそうなことは分かるでしょう.
(x^2-x+3)^2=x^4-2x^3+7x^2-6x+9から使える形へ変形していくと
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x>0においてx^2-x+3=(x-1/2)^2+11/4>0であることに注意する.
f(x)=(x^2-x+3)+{49/(x^2-x+3)}-8と変形できる[自分で確認してみましょう]. 相加平均・相乗平均の関係から
f(x)≧2√(x^2-x+3)*{49/(x^2-x+3)} - 8=14-8=6
等号成立は(x^2-x+3)^2=49⇔x^2-x+3=7(>0)⇔x^2-x+4=0⇔x=(1+√17)/2(>0)のときである.
たぶん合成関数の考え方が身についていないんだと思います.
f(x)=x+a^2/x, g(x)=x^2-x+3のとき, f(g(x))=(x^2-x+3)+a^2/(x^2-x+3)
この逆と見ることが出来れば, 素直な発想だと感じれると思います.
定石なので他の問題で慣れていくといいでしょう.
その通りでした
相加相乗平均を関数に当てはめるっていう選択肢が私にはありませんでした。ありがとうございます😊