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この問題は文系用だったので解答の精度が甘いのかもしれません.
平面図形であれ, 立体図形であれ, もう少しきっちり考察したいものです.
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点A, B, C, Dがなす立体は正四面体なので, 三角形BCDは正三角形です.
条件から, 点O, B, C, Dは同一平面上にあります. そこで球面Sとこの平面の交わりで出来る円を考えます.
切り口の様子は図(i)のようになっています. 条件から, 正三角形BCDの各頂点が円周上にあります.
したがって正三角形BCDの外心と円の中心は一致します.
線分BCの長さは△OBCに対して正弦定理を適用することでBC=2*1*sin(120°)=√3 [この方が自然だと思います.]
また立体ABCDは正四面体なのでAB=BC=√3がいえます.
ここでAB=√3>1=OAなので点Aは球Sの外側にあります. したがって直線AB, AC, ADは球Sと2点ずつ交わります.
B, C, Dを除く交わる点をP', Q' R'としておきます.
一方, AB=AC=AD, AP=AQ=ARであることに注意すると, B, C, DはAを中心としたある球面上, P, Q, RもAを中心としたある球面上にあります.
2つの球の交わりで得られる円の中心は球の中心を結んだ線分上にあるので, Aを中心とする円と球面Sの交わりで得られる円の中心はAO上にあります.
すなわち点A, 正三角形PQRの外心O', 正三角形BCDの外心Oは一直線上にある, といえます.
AO⊥平面BCD, AO'⊥平面PQRなので, 平面BCDと平面PQRは平行です. ただし正四面体ABCDとAPRQは異なるので, 両平面は一致しません.
正三角形PQRは球の交わりで得られた円周上をO'を中心として回転できますが, 直線AP, AQ, ARが直線AB, AC, ADと一致するように固定することが出来ます.
直線AB, AC, ADと球面Sが2点でしか交わらないことから, 上のように固定したとき, PとP', QとQ', RとR'は一致するといえます.
[これが"A, P, Bは一直線上にあるとしてよい"理由です.]
あとは解答を読めば分かるはずです.
[訂正] 理解してくれた, とあるので訂正してくれていると思いますが念のため
「AB=√3>1=OAなので」->「OA=√(AB^2-OB^2)=√2>(球Sの半径)」 [球の中心からの距離と球の半径の比較です.]
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[ノート] 今後の勉強のために
自分が解答を読んで分からない, というのは解答に論理的なギャップがあるということです[それに気付いているので正しい勉強法をしているからです].
そういう部分は自分で考えて埋めていく, 出来上がって納得できない場合は先生に聞いてみるのがいいと思います.
大学以上の演習では略解があればいい[答えがない問題に挑戦することも]方なので, まずは独力でやる癖をつけておいた方がいいです.
時間はかかりますが, 論理力や文章力[現代文などの記述力も上がる]を鍛えられるので, 結果として学力向上に繋がっています.
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一意性の証明
上では交点が"ただ一つ"であることを示しました. 数学ではこのような証明を一意性の証明といいます.
これは存在性の証明と共に重要な証明法です.
というのも"存在を示す(自明な具体例をあげる[構成する])"と"一意性を示す(他にはない)"の合わせ技一本で問題が解決することが多いからです.
[京大, 名大に多い]一見当たり前に見える問題を証明するときはこの考え方を思い出すといいでしょう.
①まずは存在を示す, あるいは一つ探す[これで1つ以上あることが分かる] -> 2つ存在を仮定し矛盾, あるいは一致することを示す[合わせ技で一つのみ]
②存在が明確に分かるものと比較する [この問題ではこの方法を使いました]
学校の授業ではあまりやらないかもしれないので補足しておきます.
理解しました。分かりやすかったですありがとうございます