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判別式は相異なる実数解を２つもつ条件だけです.
2つの負の解をα, βを持つ方程式は
(x-α)(x-β)=0⇔x^2-(α+β)x+αβ=0
です. これがx^2+2mx+m^2+2m-8=0
なのでα+β=-2m, αβ=m^2+2m-8が成り立ちます[解と係数の関係].
α<0, β<0⇔α+β<0かつαβ>0[論理の問題です. 逆はαの符号を固定して考えるといいです]なので.
-2m<0, m^2+2m-8>0であれば必要十分になります.
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与えられた2次方程式が相異なる2つの実数解を持つ必要十分条件は
D/4=(m)^2-(m^2-+2m-8)>0[√の中身は正ということ]⇔m<4
またその2つの解が負である必要十分条件は, 解と係数の関係から
-2m<0かつm^2+2m-8<0⇔m>0, (m+4)(m-2)>0⇔ｍ>2[m>0ならばm+4>0なのでm-2>0が必要]
共通部分をとると2<m<4で, これが求める範囲である.
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なしゅさんの解答を見ると定義や定理を表面的になぞっている気がします.
どういう内容なのかをしっかり把握してから解法とのつながりを理解するようにしましょう.
負の解を持つ時、解と係数との関係 αβは(−)×(−)だから αβ＞0になるんですね！無事解くことが出来ました有難うございます(^-^)