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5. 4次式x^4+x^2+bを2次式x^2+ax+1で割ったときの商は2次式である.
最大次と定数項の係数に注意すると, cを定数として
x^4+x^2+b=(x^2+ax+1)(x^2+cx+b) [x^2+cx+bが商です]
と書ける. これはxに関する恒等式なので, 係数比較すると
x^3: a+c=0, x^2: b+1+ac=1, x^1: ab+c=0
c=-abなのでa-ab=0⇔a(1-b)=0⇔a=0 or b=1
a=0のとき, b=c=0 [x^4+x^2=(x^2+1)x^2].
b=1のとき, a+c=0かつac=-1⇔a=±1, c=̠∓1[複号同順] [x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1), x^4+x^2-1=(x^2+x+1)]
以上から(a, b)=(0, 1), (1, -1), (1, 1)が考えられる.
***
6. 二項定理から
101^100=(100+1)^100
=Σ[n=0->100] C(100, n)100^n
=C(100, 0)*100^0+C(100, 1)*100^1+C(100, 2)*100^2+Σ[n=3->100]C(100, n)100^n
[後ろのΣで残した項は100^3=10^6の倍数なので興味がありません. このことも説明できる形に変形します.]
=1+10^4+495*10^5+10^6Σ[n=3->100]C(100, n)100^(n-3)
=10001+10^5{495+10Σ[n=3->100]C(100, n)100^(n-3)}
と変形できる. ここでΣ[n=3->100]C(100, n)100^(n-3)は自然数なので下位5桁は10001である.
丁寧な解説ありがとうございます！
助かりました！！🙏
[訂正]
5.の最後は[解答を読めば分かりますが]
以上から(a, b)=(0, 0), (1, -1), (1, 1)が考えられる.
が正しいです.