全て説明するのはちょっと大変なので、ヒントを。
(1)はαが整数ではない、有理数として矛盾を導きましょう。このときα=p/q(p,qは互いに素かつq＞1)とし、これを代入して見ましょう。感覚的にはf(x)の最後の項であるaｎが整数で、その前までの項の和が、このようなαだと整数にはならなそうなのでf(x)は整数にはならなくなってしまいます。整数にならないということはもちろん0にはなりませんね。このことはとりあえず置いておいて、最初に述べたように背理法を使いましょう。
(2)は対偶を考えましょう。
この対偶は「方程式f(x)=0が有理数解((1)より整数解)を持つならば、全ての自然数ｋに対して、ｋ個の整数f(1)...のいずれかがｋで割り切れる」です。
f(x)が整数解aをもつとすると、因数定理より、
f(x)=(x-a)g(x)となります。ここで、もちろんg(x)は整数係数の多項式です。
m=1からk(自然数)とします。なので、m-aはmの値によって、k個の連続した整数です。また、kを割ったあまりは0からk- 1までの連続した整数ですので、適当なmを決めればkで割り切れるものが存在しそうですね。
以上のことをまとめて論証してみてください！
分かりました。
ヒントありがとうございます。