Question

まなほ

なぜ、写真のような事が言えるのですか？

(CC)                    人数
ア(>) と (ヶ) の差が 守二z十1 で
割り切れるということは,。 それぞ
れを 2上x二1 で割ったときの祭
りが等しいということである。

(D)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Rya

P(x)＝(x²+x +1)f(x)+g(x)
Q(x)＝(x²+x +1)h(x)+i(x)(f(x),h(x)はxの整式、g(x)、i(x)は高々1次のxの整式。)とおく。
P(x)-Q(x)＝(x²+x +1){f(x)-h(x)}+{g(x)-i(x)}
これがx²+x +1で割り切れるとき、
g(x)-i(x)＝0すなわちg(x)＝i(x)であることが必要。
よってP(x)とQ(x)をx²+x +1で割った余りは等しい。

このように説明できます。これは具体的な数字でも成り立っています。例えば

13-3＝10であり、10は5で割り切れます。
よって13と3を5で割った余りは等しくなります。

わからないところがあればまた言ってください。

まなほ

理解出来ました！ありがとうございます

Answer 2

ウンウントリウム

P(x)=(x^2+x+1)Q(x)+A(x)
R(x)=(x^2+x+1)S(x)+B(x)と表すことにします。

※A(x)とB(x)の次数は１以下とする。

P(x)-R(x)
=(x^2+x+1)(Q(x)-S(x))+A(x)-B(x)

上式がx^2+x+1で割り切れるということはA(x)-B(x)が割り切れるということです。

A(x)とB(x)の次数は１以下ですので、A(x)-B(x)も次数は１以下です。

よって、A(x)-B(x)が割り切れるためにはこの値が0である必要があります。つまり、A(x)=B(x)が成り立つということです。

以上より、余りが等しいことが分かりました。

ウンウントリウム

整数の割り算と整式の割り算では少々定義が異なりますので、実際の数字で証明するよりも、整式を用いた方がいいと思いました。

まなほ

そうなんですね！ありがとうございます！

Answer 3

黒龍

PとRのそれぞれで剰余の定理（？）を使って、実際に差を計算すると、書いてあることが言えそうです。(。・_・。)ノ

まなほ

ありがとうございます！