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演習 例題 222 4次関数のグラフと2点で接する
関数y=x(x-4)のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
00000
[ 埼玉 ]
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II
指針 次の [3] の考え方がある [ただし/(x)=x^(x-1), s≠t] [3] の考え方で解いてみよう
1点(4,f(t)) における接線が,y=f(x)のグラフと点(s, f(s)) で接する
解答
(s,f(s)), (t,f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
y=f(x)のグラフと直線y=mx+n がx=s, x=tの点で接するとして、
f(x)=x+nが解s, tをもつ。f(x) (mx+n)=(x-s
y=x^(x-4)のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=t
(sat) の点で接するとすると,次のxの恒等式が成り立つ。
x(x-1)(x+n)=(x-s)(x-1)^
(左辺)=xxmxn
(右辺)={(x-s)(x-1)}=(x-(s+t)x+st}2
=x'+(s+1)x+st2-2(s+t)x-2(s+t)stx+2stx2
=x-2(s+1)x+{(s+t)'+2st}x2-2(s+t)stx+s212
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
①,
0=(s+t)2+2st
*******
②
-m=-2(s+t)st
③,
n=spa
①から
s+t=2
これと②から st=-2
下の脳は、指針のの考
え方によるものである。
③ からm=-8
④から
n=-4
s,tは2u-2=0の解で,これを解くと
u=1±√3
<stを確認する。
よって, y=x^(x-4)のグラフとx=1-√3x=1+√3点
で接する直線があり、その方程式は
y=-8x-4
別解 y=4x-12x2 であるから,点(t,Pt-4))における接線の方程式は
ソード(1-4)=(4P-1212)(x-1) すなわち = (4t-12t2)x-383
(*)
この直線がx=s(st)の点でy=x(x-4)のグラフと接するための条件は、方程式
x4x=(4F-1212x383 がtと異なる重解sをもつことである。
これを変形して
(xt){x2+2(1-2)x+312-8t}=0
よって, x+2(t-2)x+3t-8t=0
⑩が, tと異なる重解sをもてばよい。
A の判別式をDとすると
01=(t-2)-1-(3f2-8t)=-2(-21-2)=O
D=とすると
t2-21-2=0
これを解くと t=1±√3
このときの重解はs=-(t-2)=1千√3(複号同順) よって, s≠tである。
t=1±√3はP-2t-2=0を満たし 4t3-12t2=4(t2-2t-2)(t-1)-8=-8
-3t'+81-(t2-2t-2)(312-2t+2)-4-4
ゆえに,(*)からy=-8x-4
